Задача об устойчивости относительного равновесия искусственного спутника в гравитационном поле возникла в середине пятидесятых годов нашего бурного столетия, но имеет древнюю, уходящую в глубь веков предысторию. В небесной механике исследования устойчивости относительного равновесия Луны и ее колебаний восходят к Лагранжу.
Эти классические исследования проводились на основе линеаризованных уравнений малых колебаний. После трудов А. М. Ляпунова стало понятным, что анализ линейных уравнений, вообще говоря, не дает ответа на вопрос об устойчивости. Ляпунова и в смысле механической постановки задачи исследование вопроса о существовании и устойчивости относительного равновесия твердого тела в гравитационном поле.
Один из основных результатов этого исследования описывается ниже в упрощенном изложении. Более подробный анализ читатель может найти. Если Луна (или искусственный спутник Земли) движется по круговой орбите, то в орбитальной системе координат на Луну будет действовать силы: гравитационные, центробежные и кориолисовы. В относительном равновесии относительная угловая скорость равна нулю, а направляющие косинусы могут принимать, как оказывается, либо нулевые, либо единичные по модулю значения.
Движение назовем невозмущенным движением, а отклонения от него возмущениями. Отсюда сразу следует вывод об устойчивости относительного равновесия. Из следует, что всегда можно выбрать начальные данные так, чтобы величины у не превосходили наперед заданного сколь угодно малого значения А , то есть чтобы возмущенное движение сколь угодно мало отличалось от невозмущенного относительного равновесия. А это, согласно определению устойчивости по Ляпунову, как раз и доказывает устойчивость невозмущенного движения.
Таким образом, достаточные условия устойчивости относительного равновесия спутника на круговой орбите даются неравенствами. Заметим, что при таком выборе ho, согласно , угловые скорости р, q, r не превзойдут величин порядка со. Это весьма малые величины (для орбит искусственных спутников со ~ 0,05 Ч- 0,07 град сек, а для Луны со ~ ~ 0,00015 град сек). Иначе говоря, стабилизирующее действие гравитационного поля может сказаться лишь при весьма малой кинетической энергии вращения спутника относительно его центра масс.
Ринограденция на орбите: Приведенное здесь рассуждение, показывающее устойчивость относительного равновесия, является фактически использованием уже известной нам теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости. Напомним ее формулировку: если из переменных возмущенного движения можно образовать определенно-положительную функцию, производная V от которой в силу дифференциальных уравнений отрицательная или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
В нашем случае функция F -левая часть равенства; она положительно определена при условии. А так как V является первым интегралом уравнений движения; отсюда устойчивость. Эта теорема Ляпунова является сильным средством доказательства устойчивости в тех случаях, когда в системе не происходит рассеяние энергии и, следовательно, невозможна асимптотическая устойчивость.
Многие задачи динамики космического полета обследованы на устойчивость с помощью этой теоремы или ее модификаций. Большое количество таких задач описано В. Из условия следует, что устойчивость относительного равновесия обеспечивается прежде всего отличием спутника от однородного шара. В самом деле, в случае однородного шара и о действии гравитационных моментов говорить не приходится. Проанализируем условия подробнее. Максимальный момент инерции В соответствует оси спутника, которая в относительном равновесии, как мы помним, направлена по нормали п к плоскости орбиты.
Минимальный момент инерции С отвечает оси спутника, которая ж относительном равновесии направлена вдоль радиуса-вектора орбиты. Таким образом, максимальному моменту инерции соответствует наименьшая ось эллипсоида инерции, и наоборот. Для устойчивости относительного равновесия твердого тела на круговой орбите в ньютоновском центральном поле сил достаточно, чтобы в невозмущенном движении большая ось центрального эллипсоида инерции тела была направлена по радиусу-вектору орбиты, меньшая ось по нормали к плоскости орбиты и средняя ось по касательной к орбите.
Можно сказать, что спутник, если мы хотим обеспечить его гравитационную устойчивость, должен быть изрядно сжат по направлению к плоскости орбиты, более вытянутым, "длинным" по направлению к Земле. Пожалуй, хорошей в этом смысле конструкцией спутника будет конструкция, близкая к форме известного животного Rhinogradentia Otopteryx volitans, которое было открыто проф. X.
О пассивной стабилизации искусственных спутников: Упомянутая выше мимоходом возможность создания гравитационно-стабилизированного спутника является весьма принципиальной. За счет "даровой" гравитационной энергии можно удерживать спутник сколь угодно долго в положении, ориентированном на Землю одной стороной. Нет нужды говорить, насколько это важно для наблюдений за метеорологической обстановкой, фотографирования земной поверхности и выполнения многих других задач. А. Ю. Ишлинский в своем обзоре среди важных достижений механики описал и указанный принцип стабилизации спутника с помощью гравитационных сил.
При практическом осуществлении такой, как говорят, пассивной ) системы стабилизации важно погасить первоначальную, обычно довольно большую, угловую скорость спутника. Требуется ввести угловую скорость в весьма узкий диапазон, в котором "срабатывает" гравитационный захват спутника в ориентированное положение. Поэтому системы гравитационной стабилизации обязательно содержат механизмы демпфирования угловых скоростей.
У естественных спутников (Луна, спутники Юпитера и Сатурна, перечисленные в начале этого очерка) таким механизмом демпфирования являются моменты сил приливного трения, которые в ходе тысячелетней эволюции "застопорили" вращение Луны и некоторых других небесных тел. Демпфирование первоначальных вращений искусственных спутников производится с помощью введения в систему того или иного вида трения, рассеивающего кинетическую энергию вращения: употребляется упругое демпфирование, магнитные демпферы и др.
Для создания систем пассивной стабилизации можно использовать не только гравитационное поле, но и стабилизирующее действие аэродинамики, магнитного поля Земли и даже светового давления солнечных лучей. Впервые система гравитационной стабилизации в СССР предложена в 1956 году Д. Е. Охоцимским. В литературе можно найти описание систем пассивной стабилизации ряда уже запущенных спутников. Подробное описание динамики систем пассивной стабилизации содержится в работах В. А. Сарычсва.
Нелинейные колебания: Если спутник вывести из положения относительного равновесия, он будет совершать пространственные колебания около этого положения. Исследование этих колебаний трудная задача. Очень обычный способ анализа состоит в следующем. Предположим, что угловые отклонения от положения равновесия весьма малы. Тогда вместо точных уравнений движения можно рассмотреть приближенные, в которых оставлены члены не выше первого порядка малости.
Решение этих линейных уравнений движения должно оставаться ограниченным в течение всего бесконечного времени. Ведь если решение не ограничено, то тем самым нарушается исходная предпосылка о малости колебаний. Если же при сколь угодно малых начальных отклонениях ограниченные колебания будут тоже сколь угодно малы, то естественно, казалось бы, заключить, что условия ограниченности линейных колебаний являются условиями устойчивости исходного положения равновесия.
Но с появлением работ А. М. Ляпунова стало ясно, что такие "условия устойчивости", полученные из линейных уравнений, совсем не обязательно являются "настоящими" условиями устойчивости. По линейным уравнениям можно заключить, что исходное невозмущенное движение устойчиво, а на самом деле этого может и не быть. Прекрасной иллюстрацией к сказанному является наша задача о пространственных колебаниях твердого тела в гравитационном поле. Будем рассматривать колебания спутника около положения относительного равновесия на круговой орбите.
